Частные производные

Определение функции нескольких переменных Предел функции двух переменных Непрерывность функции двух переменных II. Частные производные Частные производные Полный дифференциал Производная и дифференциал сложной функции Неявные функции и их дифференцирования III. Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные высших порядков Признак полного дифференцирования Дифференциалы высших порядков Список литературы I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных.

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y , если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z . Множество G пар значений x и y , которые могут принимать переменные x и y , называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z . Переменные x и называются аргументами функции. Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y . Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных M Каждой тройке ( x ; y ; z ) в пространстве Oxyz соответствует точка M ( x ; y ; z ). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных. 1.2 Предел функции двух переменных.

Множество точек M ( x ; y ), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству или называется -окрестность точки Определение. Число A называет пределом функции при стремлении точки M к точке >0 существует такое >0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство : или Функция называется бесконечно малой при если 1.3 Непрерывность функции двух переменных. Пусть точка принадлежит области определения Определение.

Функция называется непрерывной в точке если или причем точка M стремится к M 0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим Полным приращением при переходе от точки M называется разность значении функции в этой точке II. Частные производные. 2.1 Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так: если эти пределы существуют.

Величина называется частным приращением функции z в точке по аргументу обозначения частных производных: Символы как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной). Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если Пример 2. Если называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных. 2.2 Полный дифференциал. (1) Если приращение (1) можно представить в виде (2) Где Аи В не зависят от и и стремятся к нулю при стремлении к нулю и называется дифференцируемой в точке приращения функции (т.е. та часть и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом (3) Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что а это и означает, что в точке функция непрерывна. Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости). В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем Деля на и переходя к пределу при Это означает, что в точке существует частная производная функции по и (4) Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная (5) Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде Если положить Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке Доказательство. Дадим переменным и столь малые приращения и не вышла за пределы указанной окрестности точки можно записать в виде Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции.

Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа.

Получим: (6) Так как производные и непрерывны в точке Отсюда и - бесконечно малые при а это и означает, что функция дифференцируема в точке 2.3 Производные и дифференциал сложной функции. Пусть z будет функцией одной переменной t . Предположим, что непрерывны и существуют.

Найдем Дадим переменной t приращение x , y , а следовательно, и z получат свои приращения и откуда Устремим теперь к нулю. Тогда и будут стремиться к нулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположили существование производных и и будут стремиться к нулю. В пределе получим: или, короче, (7) Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

Пример 1. Пусть Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию (8) так как - частная производная по первому аргументу функции двух переменных - обычная производная сложной функции одной переменной x : полной производной функции. В случае, когда ( - частная производная по второму аргументу функции - полная производная функции одной переменной y : Пусть теперь ( здесь предполагается существование первых производных функций по и z будет функцией двух независимых переменных и (9) Аналогично (10) Пример 2. Если Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на и и 2.3 Неявные функции и их дифференцирование. Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x , не разрешено относительно y , то эта функция называется неявной.

Разрешая это уравнение относительно y , мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме.

Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, (11) В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у. Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение.

Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество.

Поэтому можно сказать также, что неявная функция такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество.

Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим: Отсюда при вытекает формула для производной неявной функции (12) Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением Для имеем: и согласно формуле (12) Пусть уравнение (13) Определяет z как неявную функцию независимых переменных x и y . Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем: (14) Пример 2. Найти частные производные неявной функции z , заданной уравнением Согласно формулам (14) III. Частные производные и дифференциалы высших порядков. 3.1 Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами Частные производные и смешанными частными производными второго порядка.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции Имеем: Здесь = Теорема.

Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: = Следствие.

Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

Покажем это на примере: т.е. Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство = 3.2 Признак полного дифференцирования.

Выясним, при каких условиях выражение (1) где и непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции Теорема . Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство 3.3. Дифференциалы высших порядков.

Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной: I. , . II. . III. . IV. . Пусть имеется функция независимых переменных x и y , обладающая непрерывными частными производными второго порядка.

Рассмотрим ее полный дифференциал ( dx и dy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом). Так как и по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.