Критерий согласия Пирсона

Оценкой мат. ожидания а по этой выборке называется величина: X n = 1/n x k – выборочное среднее Реализацией выборки называется неслучайный вектор z n = col ( x 1 ,…, x n ), компоненты которого являются реализации соответствующих элементов выборки X i , i =1, n . Реализацию выборки можно так же рассматривать как последовательность x 1 ,…, x n из n реализаций одной и той же СВ Х, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях.

Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений. Т.о. Х n = а n – оценка для а Замечание: можно показать, что оценка Х n обладает следующим свойством: 1) Х n a при n (состоятельность оценки Х n ) 2) M [ X n ]= a (несмещенность оценки) Выборочной дисперсией называется величина S n 2 = (1/(n-1)) (x k – X n ) 2 Выборочная дисперсия является оценкой для дисперсии S n 2 = 2 n = S n 2 = S n – оценка среднего квадратичного отклонения.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения.

Упорядочить элементы выборки по возрастанию М n ( A ) – случайное число появлений события A в серии из n испытаний W n ( A ) = М n ( A )/ n – частота события А в серии из n испытаний Рассмотрим выборку Z n , порожденную СВ Х с функцией распределения F x ( x ). Определим для каждого х Є R 1 событие A х = { X x }, для каждого P ( A х ) = F x ( x ). Тогда М n ( A х ) – случайное число элементов выборки Z n , не превосходящих х Определение.

Частота М n ( A х ) события A х как функция х Є R 1 , называется выборочной (эмпирической) функцией распределения СВ Х и обозначается F n (x) = М n ( A х ) . Для каждого фиксированного х Є R 1 СВ F n ( x ) является статистикой, реализациями которой являются числа 0, 1/ n , 2/ n ,…, n / n , и при этом P { F n ( x ) = k / n }= P {М n ( A х )= k }, k = 1, n . Любая реализация F n ( x ) выборочной функции F n ( x ) является ступенчатой функцией. В точках х (1) ( n ) , где х ( k ) – реализация порядковой статистики X ( k ) , функция F n ( x ) имеет скачки величиной 1/ n и является непрерывной справа.

Свойства. 1) M [ F n ( x )]= F ( x ), для любого х Є R 1 и любого n 1 2) Sup | F n ( x )- F ( x )| 0 при n 3) d n (x) = M[(F n (x)- F(x)) 2 ] = F(x)(1-F(x))/n 1/4n 4) ( F n ( x )- F ( x ))/ d n ( x ) U при n , где СВ U имеет распределение N (0; 1) Гистограмма 1) Построить вариационный ряд выборки, т.е. элементы выборки упорядочить по возрастанию { x 1 ,…, x n } { x 1 ,…, x n } х (1) ( n) Промежуток = [ x 1 , x n ] называется размахом выборки. Все наблюдения принадлежат этому промежутку. 2)Группировки выборки. Для этого размах выборки делится на k промежутков одинаковой длины. | i | - длина промежутка i | 1 | = | 2 | =…= | n | = | | / k n m – число наблюдений попавших в интервал Группировкой выборки называется набор следующего вида. ( m ; n m ) , m =1,…, k – статистический ряд 2) Построение гистограммы Для каждого промежутка m находится частота P m *= n m /n Над каждым промежутком m строится прямоугольник, основанием которого является этот промежуток, а высота равна h m = P m */ | m | Гистограммой называется кусочно-постоянная функция, образованная верхними основаниями построенных прямоугольников.

Гистограмма является оценкой плотности вероятности, построенной по выборке. 4.Понятие о точечном и интервальном оценивании.

Свойства точечных оценок: несмещенность и состоятельность.

Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений ( ) Точечной (выборкой) оценкой неизвестного параметра распределения Є называется произвольная статистика ( Z n ), построенная по выборке Z n и принимающая значение в множестве . Свойства: 1) Оценка ( Z n ) параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к , т.е. ( Z n ) при n для любого Є . 2) Оценка ( Z n ) параметра называется несмещенной, если ее МО равно , т.е. M [ ( Z n )] = для любого Є . 5.Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

Оценкой максимального правдоподобия (МП-оценкой) параметра Є называется статистика ( z n ), максимизирующая для каждой реализации Z n функцию правдоподобия, т.е. (z n ) = arg max L(z n , ) Способ построения МП-оценки называется методом максимального правдоподобия. Пусть v i , i =1, s , - выборочные начальные моменты.