Построение и исследование математической модели для задачи линейного программирования

Сравнение результатов вычислений . PAGEREF _Toc135182679 h 28 3.2 Задача одномерной оптимизации функции . PAGEREF _Toc135182680 h 29 3.2.1 Постановка задачи одномерной оптимизации функции . PAGEREF _Toc135182681 h 29 3.2.2 Метод дихотомии . PAGEREF _Toc135182682 h 30 3.2.3 Метод Фибоначчи . PAGEREF _Toc135182683 h 31 3.2.4 Метод кубической аппроксимации . PAGEREF _Toc135182684 h 32 3.3 Задача многомерной оптимизации функции . PAGEREF _Toc135182685 h 33 3.3.1 Постановка задачи многомерной оптимизации функции . PAGEREF _Toc135182686 h 33 3.3.2 Метод Хука – Дживса . PAGEREF _Toc135182687 h 34 3.3.3 Метод наискорейшего спуска (метод Коши) PAGEREF _Toc135182688 h 36 3.3.4 Метод Ньютона . PAGEREF _Toc135182689 h 37 3.3.5 Сравнение результатов вычислений . PAGEREF _Toc135182690 h 38 Заключение . PAGEREF _Toc135182691 h 39 Библиографический список . PAGEREF _Toc135182692 h 40 ПРИЛОЖЕНИЕ . PAGEREF _Toc135182693 h 41 А Текст программы глобальной многомерной оптимизации . PAGEREF _Toc135182694 h 41 Б. Результаты работы программы .. PAGEREF _Toc135182695 h 44 Введение Современный этап развития человечества отличается тем, что на смену века энергетики приходит век информатики.

Происходит интенсивное внедрение новых технологий во все сферы человеческой деятельности.

Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать развитие образования.

Изменяется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества.

Формирование и получение новых знаний должно базироваться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого отдельное место занимает модельный подход.

Возможности модельного подхода крайне многообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования.

Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем. В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования.

Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации. 1 Общая формулировка задания на курсовой проект Вариант задания для задачи линейного программирования (ЗЛП) представляет собой область допустимых решений ЗЛП и целевую функцию. Для того чтобы определить, какое значение должна достигать целевая функция – минимальное или максимальное, необходимо найти градиент целевой функции. Если направление градиента совпадает с направлением стрелки у целевой функции в варианте задания, то в задаче определяется максимальное значение целевой функции, иначе – минимальное. Итак, задание по решению ЗЛП состоит в следующем: построить математическую модель ЗЛП согласно варианту; получить решение ЗЛП графическим методом; решить ЗЛП алгебраическим методом; решить ЗЛП методом симплекс-таблицы; определить допустимое решение ЗЛП методом введения искусственного базиса; построить ЗЛП, двойственную данной, решить эту задачу и исследовать взаимосвязь между решениями взаимодвойственных задач.

Вариант для задачи целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП) представляет собой область допустимых решений ЗЛП и целевую функцию.

Задание состоит в следующем: решить ЗЦЛП, при условии целочисленности всех переменных, входящих в задачу методом ветвей и границ и методом отсекающих плоскостей (методом Гомори). Вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными составляется студентом самостоятельно с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна.

Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Баллаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора.

Задание на поиск глобального экстремума функции состоит в написании программы.

Программа для поиска экстремума функции может быть разработана на любом алгоритмическом языке.

Задание состоит в следующем: 1) найти точку глобального экстремума функции f ( X ) методом поиска по координатной сетке с постоянным шагом; 2) найти точку глобального экстремума функции f ( X ) методом случайного поиска; 3)сравнить результаты вычислений.

Задание для нахождения одномерного локального экстремума функции (одномерная оптимизация) состоит в том, чтобы выполнить поиск минимума заданной функции методом дихотомии (3-4 итерации), уточнить интервал поиска методом Фибоначчи (3 итерации) и завершить поиск методом кубической аппроксимации.

Задание для нахождения многомерного локального экстремума функции (многомерная оптимизация) состоит в том, чтобы минимизировать функцию, применяя следующие методы: нулевого порядка – Хука-Дживса, первого порядка – наискорейшего спуска (Коши), второго порядка – Ньютона, и провести сравнительный анализ методов оптимизации по количеству итераций, необходимых для поиска экстремума при фиксированной точности и начальных координатах поиска X (0) =[-1,-1] T . 2 Линейное программирование 2.1 Задача линейного программирования 2.1.1 Постановка задачи линейного программирования Построить математическую модель ЗЛП согласно варианту.

Получить решение ЗЛП графическим методом.

Решить ЗЛП алгебраическим методом.

Решить ЗЛП методом симплекс-таблицы.

Определить допустимое решение ЗЛП методом введения искусственного базиса.

Построить ЗЛП, двойственную данной, решить эту задачу и исследовать взаимосвязь между решениями взаимодвойственных задач. 2.1.2 Математическая модель задачи линейного программирования AB: BC: CD: DE: F: Математическая модель: 2.1.3 Графический метод Вычисляем значение целевой функции во всех вершинах симплекса и выбираем из них наименьшее. Это и будет оптимальное решение. F A = 1 F B = -8 F C = -14 F D = 0 F E = 3 C(2, 4) F = -14 2.1.4 Алгебраический метод x 2 , x 4 , x 5 , x 6 – базисные переменные, x 1 , x 3 – свободные переменные x 1 F x 3 F Выбираем x 3 x 4 x 2 , x 3 , x 5 , x 6 – базисные переменные, x 1 , x 4 – свободные переменные x 1 F x 4 F Выбираем x 1 x 5 x 1 , x 2 , x 3 , x 6 - базисные переменные, x 4 , x 5 – свободные переменные x 1 F x 4 F X=(2 , 4, 7, 0, 0, 5 ) F = -14 2.1.5 Метод симплекс-таблицы Приведем к каноническому виду: x 2 , x 4 , x 5 , x 6 – базисные переменные, x 1 , x 3 – свободные переменные

b x 1 x 3
x 2 1 2 -1
1 -3 1
x 4 1 -3 1 1
1 -3 1
x 5 12 -1 2 6
-2 6 -2
x 6 4 3 -1
1 -3 1
F -4 -9 4
-4 12 -4
b x 1 x 4
x 2 2 -1 1
2 1/5 -2/5
x 3 1 -3 1
6 3/5 -6/5
x 5 10 5 -2 2
2 1/5 -2/5
x 6 5 0 1
0 0 0
F -8 3 -4
-6 -3/5 6/5
b x 5 x 4
x 2 4 1/5 3/5
x 3 7 3/5 -1/5
x 1 2 1/5 -2/5
x 6 5 0 1
F -14 -3/5 -14/5
X = (2 , 4, 7, 0, 0, 5) F = -14 2.1.6 Метод допустимого базиса
b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
F 0 -1 4 0 0 0 0
1/2 1/2 1/2 -1/2 0 0 0
1 1 2 1 -1 0 0 0 1/2
1/2 1/2 1/2 -1/2 0 0 0
2 2 -1 1 0 1 0 0 14/3
1/2 1/2 1/2 -1/2 0 0 0
3 14 3 2 0 0 1 0 3
-3/2 -3/2 -3/2 3/2 0 0 0
4 3 1 -1 0 0 0 1
-1/2 -1/2 -1/2 1/2 0 0 0
f 20 5 3 -1 1 1 1
-5/2 -5/2 -5/2 5/2 0 0 0
b 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
F 1/2 1/2 9/2 -1/2 0 0 0
5/2 -1/2 -3/2 1 0 0 1
x 1 1/2 1/2 1/2 -1/2 0 0 0
5/2 -1/2 -3/2 1 0 0 1
2 5/2 1/2 3/2 -1/2 1 0 0
5/2 -1/2 -3/2 1 0 0 1
3 25/2 -3/2 1/2 3/2 0 1 0 25/3
-15/ 2 3/2 9/2 -3 0 0 -3
4 5/2 -1/2 -3/2 1/2 0 0 1 5
5 -1 -3 2 0 0 2
f 35/2 -5/2 1/2 3/2 1 1 1
-15/ 2 3/2 9/2 -3 0 0 -3
b 1 x 2 4 x 4 x 5 x 6
F 3 0 3 1 0 0 1
-3 0 -3/5 9/5 0 -3/5 9/5
x 1 3 0 -1 1 0 0 1
1 0 1/5 -3/5 0 1/5 -3/5
2 5 0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0
3 5 0 5 -3 0 1 -3 1
1 0 1/5 -3/5 0 1/5 -3/5
x 3 5 -1 -3 2 0 0 2
3 0 3/5 -9/5 0 3/5 -9/5
f 10 -1 5 -3 1 1 -2
-5 0 -1 3 0 -1 3
b 1 3 4 x 4 x 5 x 6
F 0 0 -3/5 14/5 0 -3/5 14/5
-14 0 0 -14/ 5 -14/ 5 0 -14/ 5
x 1 4 0 1/2 2/5 0 1/5 2/5 10
-2 0 0 -2/5 -2/5 0 -2/5
2 5 0 0 1 1 0 1 5
5 0 0 1 1 0 1
x 2 1 0 1/5 -3/5 0 1/5 -3/5
3 0 0 3/5 3/5 0 3/5
x 3 8 -1 3/5 1/5 0 3/5 1/5 40
-1 0 0 -1/5 -1/5 0 -1/5
f 5 -1 -1 0 1 0 1
-5 0 0 -1 -1 0 -1
b 1 3 4 x 4 x 5 2
F -14 0 -3/5 0 -14/5 -3/5 -14/5
x 1 2 0 1/5 0 -2/5 1/5 -2/5
x 6 5 0 0 1 1 0 1
x 2 4 0 1/5 0 3/5 1/5 -3/5
x 3 7 -1 3/5 0 -1/5 3/5 -1/5
f 0 -1 -1 -1 0 0 -1
b x 4 x 5
F -14 -14/5 -3/5
x 6 5 1 0
x 2 4 3/5 1/5
x 3 7 -1/5 3/5
x 1 2 -2/5 1/5
Допустимое базисное оптимальное решение: X = (2, 4, 7, 0, 0, 5) F = -14 2.1.7 Решение двойственной задачи Прямая задача: Двойственная задача: Приводим к каноническому виду: y 1 , y 3 – базисные переменные, y 2 , y 4 , y 5 , y 6 – свободные переменные
b y 2 y 4 y 5 y 6
y 1 14 5 -5 2 -3 14/5
14/5 1/5 -1 2/5 -3/5
y 3 9 3 -3 1 -2 3
-42/5 -3/5 3 -6/5 9/5
Ф ’ 112 35 -40 12 -25
-98 -7 35 -14 21
b y 2 y 4 y 5 y 6
y 1 14/5 1/5 -1 2/5 -3/5
y 3 3/5 -3/5 0 -1/5 -1/5
Ф ’ 14 -7 -5 -2 -4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
y 5 y 6 y 1 y 2 y 3 y 4
2 4 7 0 0 5
F’ = Ф ’ = 14 X = (2,4,7,0,0,5) F= -F’ = -14 2.2 Задача целочисленного линейного программирования 2.2.1 Постановка задачи целочисленного линейного программирования Решить ЗЦЛП, при условии целочисленности всех переменных, входящих в задачу, методом ветвей и границ и методом отсекающих плоскостей (методом Гомори). 2.2.2 Метод Гомори x 3 , x 4 – базисные переменные, x 1 , x 2 – свободные переменные
b x 1 x 2
x 3 11 2 3 11/2
-5 -1/2 -1/2
x 4 10 4 1 10/4
5/2 1/4 1/4
F’ 0 2 1
-5 -1/2 -1/2
b x 4 x 2
x 3 6 -1/2 5/2 12/5
12/5 -1/5 2/5
x 1 5/2 1/4 1/4 10
-3/5 1/20 -1/10
F’ -5 -1/2 1/2
-6/5 1/10 -1/5
b x 1 x 2
x 3 12/5 -1/5 2/5
x 4 19/10 3/10 -1/10
F’ -31/5 -2/5 -1/5
X = (19/10, 12/5, 0, 0) F = - F ’ = 31/5 Составляем неравенство Гомори:
b x 4 x 3
F’ -31/5 -2/5 -1/5
1/5 1/10 -1/2
x 2 12/5 -1/5 2/5
-2/5 -1/5 1
x 1 19/10 3/10 -1/10
1/10 -1/4
u 2 -2/5 -1/5 -2/5
1 1/2 -5/2
b x 4 u 2
F’ -6 -3/10 -1/2
x 2 2 -2/5 1
x 1 2 7/20 -1/4
x 3 1 1/2 -5/2
X = (2, 2, 1, 0) F = - F ’ = 6 2.2.3 Метод ветвей и границ
x 2
x 2 2
x 2 3
2 12/5 3
b x 1 x 2
x 3 12/5 -1/5 2/5
x 4 19/10 3/10 -1/10
F ’ -31/5 -2/5 -1/5
Задача № 1 Приводим к каноническому виду: x 3 , x 4 , x 5 – базисные переменные, x 1 , x 2 – свободные переменные
b x 1 x 2
x 3 11 2 3 11/2
-5 -1/2 -1/2
x 4 10 4 1 5/2
5/2 1/4 1/4
x 5 2 0 1
0 0 0
F’ 0 2 1
-5 -1/2 -1/2
b x 4 x 2
x 3 6 -1/2 5/2 12/5
-5 0 -5/2
x 1 5/2 1/4 1/4 10
-1/2 0 -1/4
x 5 2 0 1 2
2 0 1
F’ -5 -1/2 1/2
-1 0 -1/2
b x 4 x 5
x 3 1 -1/2 -5/2
x 1 2 1/4 -1/4
x 2 2 0 1
F’ -6 -1/2 -1/2
X = (2, 2, 1, 0, 0) F’ = -6 F = -F’ = 6 Задача № 2 Решаем задачу с x 2 3 в подсистеме «Поиск решения» системы Excel . Получаем допустимое не оптимальное решение F = 5, X = (1, 3)
=2*$1+$2 1 =2*$1+3*$2 11
3 =4*$1+$2 10
=$2 3
5 1 11 11
3 7 10
3 3
Ограничения
Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница
$1 11 $1 связанное 0
$2 7 $2 не связан. 3
$3 3 $3>=$3 связанное 0
2.3 Задача целочисленного линейного программирования с булевскими переменными 2.3.1 Постановка задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными Составить самостоятельно вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна.

Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Баллаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора. 2.3.2 Метод Баллаша

x 4 x 3 x 2 x 1 x 5 Выполнение ограничений Значение F
0 1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 0 0 F ф=0
2 0 0 0 0 1 44
3 0 0 0 1 0 17
4 0 0 0 1 1 61
5 0 0 1 0 0 13
6 0 0 1 0 1 57
7 0 0 1 1 0 30
8 0 0 1 1 1 74
9 0 1 0 0 0 -10 + + + + + F ф=-10
10 0 1 0 0 1 34
11 0 1 0 1 0 7
12 0 1 0 1 1 51
13 0 1 1 0 0 3
14 0 1 1 0 1 47
15 0 1 1 1 0 20
16 0 1 1 1 1 64
17 1 0 0 0 0 -49 + + + + + F ф= -49
18 1 0 0 0 1 -5
19 1 0 0 1 0 -32
20 1 0 0 1 1 12
21 1 0 1 0 0 -36
22 1 0 1 0 1 8
23 1 0 1 1 0 -19
24 1 0 1 1 1 25
25 1 1 0 0 0 -59 + + + + + F ф=-59
26 1 1 0 0 1 -15
27 1 1 0 1 0 -42
28 1 1 0 1 1 2
29 1 1 1 0 0 -46
30 1 1 1 0 1 -2
31 1 1 1 1 0 -29
32 1 1 1 1 1 15
Фильтрующее ограничение: 2.3.3 Определение снижения трудоемкости вычислений Решение задачи методом полного перебора составляет 6*2 5 =192 вычисленных выражения.

Решение задачи методом Баллаша составляет 3*6+(2 5 -3)=47 вычисленных выражений. Итого снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора составляет 3 Нелинейное программирование 3.1 Задача поиска глобального экстремума функции 3.1.1 Постановка задачи поиска глобального экстремума функции Необходимо написать программа для поиска экстремума функции.

Задание состоит в следующем: 1) найти точку глобального экстремума функции f ( X ) методом поиска по координатной сетке с постоянным шагом; 2) найти точку глобального экстремума функции f ( X ) методом случайного поиска; 3)сравнить результаты вычислений. 3.1.2 Метод поиска по координатной сетке с постоянным шагом и метод случайного поиска.

Сравнение результатов вычислений Метод поиска глобального минимума, называемый методом поиска по координатной сетке, является надежным, но применим только для задач малой размерности ( n выбирается минимальное.

Результат: число испытаний 905, f(X * ) = -2.500, X * =(-0.500; 2.000) Метод случайного поиска характеризуется намеренным введением элемента случайности в алгоритм поиска. Этот метод предполагает наличие генератора случайных чисел, обращаясь к которому, в любой нужный момент времени можно получить реализацию случайного вектора с заданным законом распределения.

Результат: число испытаний 299, f ( X * ) = -2.469, X * =(-0.677; 2.173). Расчет в системе MathCAD : f ( X * ) = -2.500, X * =(-0.500; 2.000) Как видим, метод случайного поиска сократил число испытаний на 66%, при этом относительная погрешность составляет 1%. Т.е. мы достигли значительного сокращения вычислений с небольшой относительной погрешностью. 3.2 Задача одномерной оптимизации функции 3.2.1 Постановка задачи одномерной оптимизации функции Задание для нахождения одномерного локального экстремума функции (одномерная оптимизация) состоит в том, чтобы выполнить поиск минимума заданной функции методом дихотомии (3-4 итерации), уточнить интервал поиска методом Фибоначчи (3 итерации) и завершить поиск методом кубической аппроксимации. 3.2.2 Метод дихотомии Итерация 1 Итерация 2 Итерация 3 Итерация 4 После четырех итераций получим: 3.2.3 Метод Фибоначчи Итерация 1 Итерация 2 Итерация 3 Итерация 4 Поиск окончен. Длина интервала : 3.2.4 Метод кубической аппроксимации 3.3 Задача многомерной оптимизации функции 3.3.1 Постановка задачи многомерной оптимизации функции Минимизировать функцию, применяя следующие методы: нулевого порядка – Хука-Дживса, первого порядка – наискорейшего спуска (Коши), второго порядка – Ньютона, и провести сравнительный анализ методов оптимизации по количеству итераций, необходимых для поиска экстремума при фиксированной точности и начальных координатах поиска X (0) =[-1,-1] T . 3.3.2 Метод Хука – Дживса Итерация 1 1 Исследующий поиск 2 Поиск по образцу Итерация 2 1 Исследующий поиск 2 Поиск по образцу Итерация 3 1 Исследующий поиск 2 Поиск по образцу Поиск завершен 3.3.3 Метод наискорейшего спуска (метод Коши) Итерация 1 . Счет итераций k = 0 Итерация 2. Счет итераций k = 1 Поиск завершен 3.3.4 Метод Ньютона 3.3.5 Сравнение результатов вычислений Метод Хука-Дживса сходится за три итерации, при этом происходит вычисление значения функции в 13 точках, всего 38 вычислений. Метод наискорейшего спуска (метод Коши) сходится за одну итерацию, 9 вычислений. Метод Ньютона сходится за одну итерация, 9 вычислений.

Методы Коши и Ньютона в данном случае сходятся за одну итерацию, поскольку функция представляет собой функцию для сферы (линии уровня – концентрические окружности) и направление, противоположное градиенту функции, направлено на точку минимума. Из этого можно сделать вывод, что в случае функций такого вида использование метода Хука-Дживса нерационально.

Заключение Процесс проектирования информационных систем, реализующих новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров-системотехников оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем.

Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем.

Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ПЭВМ. Все большие возможности предоставляются пользователю, т. е. специалисту по моделированию систем средствами вычислительной техники.

Особенно эффективно применение моделирования на ранних этапах проектирования автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна.

оценка рыночной стоимости облигаций в Липецке
оценка дома с участком в Смоленске
оценка объектов коммерческой недвижимости в Курске